[A:42r] et circa clavum z moveatur canon zt donec portio canonis kl interiacens periferiae et rectae ah bifariam secetur ab ipsa bd in signo m et per signum l ipsi bd parallelus agatur nx sitque sicut na ad ab sic zn ad no itemque sic xn ad np. // Aio itaque quod no, np sunt ipsis ab¹, bg mediae proportionales quodque bg, no, np, ab sunt in continua proportione. // Agatur enim ipsi bd parallelus kr eruntque rb, bn aequales, quandoquidem aequales sunt km, ml. Quare ln ad nz sicut kr ad rz et ideo sicut xn ad na et ideo sicut nz ad nx quandoquidem² nx media proportionalis est ipsis an, nz. Igitur et nz ipsis ln, nx media proportionalis est. Non dubium ergo quin ln, nz, nx, an sint³ in continua proportione. Scilicet sicut⁴ bg ad ln sic ab ad an. Itemque⁵ per hypothesim sic no ad nz nec non np ad nx. Quare ex permutata proportione sequitur ut⁶ ipsae bg, no, np, ab sint in eadem continua proportione, itaque ipsis ab, bg inventae sunt no, np binae mediae proportionales, quod erat faciendum. // Est autem inventio Pappi / et hac eadem via utitur Diocles. Hac etiam Porus nichaeus.

Hic ponendus est modus quartus inveniendi duas medias proportionales, quem posuimus in speculationibus nostris. Et est modus Heronis⁷, qui modus est idem fere cum modo Apollonii et Philonis.

Superant modi Platonis, Eratosthenis, et Nicomedis quos ut minus necessarios dimisimus contenti quatuor praedictis. 30 decembris 1533

Sunt igitur quinque modi inveniendi duas medias proportionales, videlicet Heronis, Philonis, Pappi, Architae et Menechmi. p^o octobris 1535

Item modum a Platone traditum posuimus in alio enchiridio.

[A:42v] INVENTIO PAPPI

Sunto duae rectae ab, bg quarum maior ab. // Oportet ipsis duas medias proportionales invenire. Ponatur ad angulum b rectum et producatur bg ad d et ab ad e et ponatur bd, be ipsi ab aequales et super diametrum ae centroque b describatur semicirculus ade et connectatur ag et extendatur ad periferiam ad signum z et circa clavum e moueatur canon eh donec portio canonis tk interposita periferiae et recta az bifariam secetur ab ipsa bd in signo l et per signum k ipsi bd parallelus agatur mn sitque sicut ma ad ab sic em ad mx itemque sic nm ad mo. // Aio itaque quod bg, mx, mo, ab sunt continuae proportionales. // Agatur enim ipsi bd parallelus tp⁸ eruntque bp, bm aequales, quandoquidem aequales sunt tl, lk iisdem parallelis interpositae: quare km ad me sicut tp ad pe et ideo sicut nm ad ma et ideo sicut me ad mn quandoquidem mn media proportionalis est inter am, me igitur et me ipsis km, mn media proportionalis est. Non dubium ergo quin km, me, mn, ma sint in continua proportione: scilicet sicut bg ad km, sic ab ad ma ob similitudinem triangulorum: itemque per hypothesim sic mx ad me nec non mo ad mn quare ex permutata proportione sequitur ut ipsae bg, mx, mo, ab sint in eadem continua proportione itaque ipsis bg, ab binas medias proportionales mx, mo interposuimus quod erat faciendum. // Est autem inventio Pappi et hac eadem via utuntur Diocles et Porus.

Hic ponendus est quartus modus inveniendi duas medias proportionales quem posuimus in speculationibus nostris / et est modus Heronis⁹. Nam modos Platonis, Eratosthenis et Nicomedis ut¹⁰ supervacuos negleximus, contenti quartus praedictis. 30 decembris 1533